2.1 - Definição

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática

No módulo anterior foram apresentados os principais conceitos envolvendo a teoria dos conjuntos. Nessa seção veremos que, constituí grande interesse, estudar como é possível transformar certos conjuntos numéricos em outros conjuntos numéricos.

Essas transformações são de grande utilidade, seja do ponto de vista teórico ou na aplicação a problemas práticos em economia ou administração. A título de exemplo, suponha que estejamos interessados em relacionar nível educacional (anos de estudo) e padrão salarial. A tabela abaixo exemplifica os resultados de um estudo hipotético sobre padrão salarial.

Se definirmos A como sendo o conjunto que contém os anos de estudo e B o conjunto dos correspondentes padrões de salário, vemos que existe uma relação entre os conjuntos A e B, de maneira que, para cada nível de instrução corresponde um nível salarial. Indo mais além, é possível observar que a relação entre A e B é regida por um regra explícita, segundo a qual, o salário corresponde a cem vezes os anos de estudo. Se fizermos x representar os anos de estudo e y o salário então os fatos acima podem ser colocados da seguinte forma:

Em termos matemáticos, a sentença acima estabelece que existe uma relação funcional entre os conjuntos A e B. Essa relação funcional por sua vez obedece a uma regra explícita em que os anos de estudo são multiplicados por cem. A figura abaixo ilustra a sentença acima:

No exemplo acima o conjunto A é denominado o domínio, o conjunto B o contradomínio e a regra de associação é comumente simbolizada por y = ƒ(x), onde ƒ(x) significa que para cada existe uma ação ƒ que transforma em x e y.

De posse dos elementos acima, podemos agora definir rigorosamente uma função:

Uma função corresponde a uma tripla de objetos (A, B, ƒ), em que A é denominado domínio da função, B o contradomínio da função e ƒ uma regra que associa a cada elemento em A, um e somente um elemento em B.

É importante atentar para a última parte da definição “...cada elemento em A, um e somente um elemento em B...”. Qualquer regra de associação que faz corresponder a um elemento no domínio dois ou mais elementos no contradomínio, não pode ser chamada de função. As figuras abaixo mostram o que pode e o que não pode ser chamado de função.

A notação comumente utilizada para função é a seguinte: ƒ : A B ou

Observe que, dados o domínio e o contradomínio a definição da função fica a mercê da regra de associação. Por este razão, existem tantas funções quanto regras possíveis de associação entre dois números, ou seja, existe um número incontável de funções possíveis. Em nosso estudo sobre funções consideraremos sempre que ambos, domínio e contradomínio são subconjuntos ou o próprio conjunto dos números reais. Vejamos alguns exemplos de funções

Exemplo 1: Definiremos a função ƒ : A B pondo:

Ou seja, na regra escolhida a cada elemento no domínio corresponde exatamente o mesmo elemento no contradomínio. Essa função e comumente chamada de função identidade e corresponde a um caso particular das chamadas funções lineares.

Exemplo 2: Para construir a classe geral de funções lineares ou do 1° grau, definimos a função ƒ : A B por:

As quantidades a e b, são números reais que podem ser negativos ou positivos. O número a é denominado coeficiente linear e o número b coeficiente angular da função. Mais adiante veremos porque esses números são assim denominados. Veremos também que na medida em que a e b são modificados a natureza da relação entre os elementos do domínio e do contradomínio da função também é modificada.

Exemplo 3: Considere a função definida ƒ : A B por:

Neste exemplo a regra de associação estabelece que para cada elemento no domínio corresponde o seu quadrado no contradomínio. Esse é um exemplo de função quadrática ou do 2° grau.

 

2.2 - Imagem e Gráfico de uma Função

Em muitas situações, o contradomínio de uma função não corresponde exatamente ao conjunto dos valores efetivamente transformados pela regra de associação. No exemplo da relação de anos de estudo e salário por exemplo, poderíamos ter posto outros padrões salariais (elementos do conjunto B) como 350 e 1650, entretanto de acordo com a regra especificada, não existem anos de estudo (elementos em A) que correspondem a esses padrões de salário. Assim, embora o conjunto B continue sendo o contradomínio da função, dois de seus elementos não correspondem a nenhum dos elementos no domínio.

Em função dessa observação defini-se um outro conjunto que corresponde ao conjunto dos elementos no contradomínio para os quais sempre existe um elemento correspondente no domínio da função. Esse conjunto é denominado imagem da função e será denotado por (em muitos livros a notação para imagem de uma função é (A, B, ƒ) é ƒ=(A)) .

Em nosso exemplo podemos definir o contradomínio como:

Mas a imagem da função será:

Assim sendo, a imagem de uma função corresponde aos elementos no contradomínio para os quais sempre existe um elemento correspondente no domínio da função. Em termos matemáticos dada uma função (A, B, ƒ) a imagem da mesma é o conjunto:

A figura abaixo ilustra a definição de imagem de uma função.

Nos Exemplos 1 e 2 dados acima temos que Im = . Mas o que acontece no caso do Exemplo 3? Seria a imagem da função dada o conjunto todo dos números reais como nos Exemplos 1 e 2? A resposta é não. Note que de acordo com a regra estabelecida a cada número real tomado no domínio corresponde seu quadrado. Mas o quadrado de qualquer número real é sempre um número real não negativo (os números reais não negativos correspondem a todos os números positivos mais o zero). Assim os números reais negativos não possuem correspondentes, pois não existe número real para o qual o quadrado é negativo. Portanto no caso do Exemplo 3 temos que .

A principal vantagem no estudo das funções é que toda relação entre elementos no domínio e na imagem pode ser visualizada através de figuras no plano cartesiano denominadas gráficos. Para tanto, todos os pontos da forma (x, ƒ(x))são marcados no plano cartesianos e interligados através de uma linha cheia, formando assim um traçado que representa o gráfico da função.

Para ilustrar a construção de um gráfico de uma função, consideremos o seguinte exemplo. A função ƒ : A B será definida por:

Note inicialmente que podemos verificar facilmente que: A = ; B = e Im = .= + = {x ; x ≥0}. Para construir o gráfico de ƒ, atribuímos valores a x, obtemos os respectivos valores de ƒ(x) , coletamos os pares ordenados da forma (x, ƒ(x)), marcamos esses pares no plano cartesiano e então obtemos um esboço do gráfico ligando tais pontos. A tabela abaixo contém alguns valores para ƒ.

Os pares acima são marcados no plano cartesiano e os pontos resultantes são ligados formando um traçado aproximado da função como mostra a figura abaixo.

Podemos utilizar programas de computadores para fazer gráficos das funções, tais como: Winplot , Mat Lab, Microsoft Excel e outros.

 

2.3 - Injeção, Sobrejeção e Bijeção

As funções recebem certas denominações dependendo de suas características. Essas características geralmente podem ser relacionadas ao comportamento do gráfico da função de maneira que as mesmas podem ser identificadas pela simples inspeção do gráfico da função estudada.

Como foi discutido nas seções anteriores, existe um número infindável de funções que podemos construir. Para cada uma delas o respectivo gráfico tem um comportamento, entretanto é possível identificar certos atributos que são comuns a uma ampla classe de funções diferentes.

O primeiro atributo que estudaremos é o de injeção cuja definição é dada a seguir.

Em alguns livros a palavra injetiva é substituída por monótona, e a função que goza dessa propriedade pode ser sempre crescente ou sempre decrescente em seu domínio. Mais precisamente, ƒ : A B é injetiva (ou monótona) crescente se sempre que tem-se . A figura abaixo ilustra um exemplo de função injetiva crescente.

De modo semelhante, ƒ : A B é injetiva (ou monótona) decrescente se sempre que tem-se . A figura abaixo ilustra um exemplo de função injetiva decrescente.

Existem funções para quais em certos trechos do domínio a função é crescente e em outros a função é decrescente. Funções com essa característica não são injetivas como é o caso por exemplo da função quadrática que é crescente para valores positivos no domínio e é decrescente para valores negativos.

O segundo atributo a ser estudado é o de sobrejeção que definimos a seguir.

Uma função não será sobrejetiva se existe pelo menos um elemento no contradomínio que não está na imagem da função, ou seja, se existe pelo menos um elemento no contradomínio para o qual não existe elemento correspondente no domínio da função. O exemplo mais simples de função sobrejetiva é a função identidade que como foi visto é a função ƒ : A B definida por . O gráfico da função identidade é ilustrado abaixo.

Para um exemplo simples de função que não é sobrejetiva podemos considerar a função quadrática* .

* Existe uma observação importante a respeito do conceito de sobrejeção. Podemos notar que uma função pode tornar-se sobrejetiva simplesmente pela redefinição do contredomínio. Por exemplo a função função quadrática não é sobrejetiva em todo o conjunto de números reais, entretanto se definirmos o seu contradomínio como sendo os reais não negativos então contradomínio e imegem coincidem e portanto a função passa a ser sobrejetiva.

Combinando os conceitos de injeção e sobrejeção definimos a seguir o conceito de bijeção.

 

2.4 - Máximos e Mínimos

Um conceito importante no estudo das funções é de ponto crítico, que pode ser um ponto de máximo ou de mínimo. A conceituação precisa é dada a seguir.

A figura a seguir ilustra os conceitos de ponto de máximo e de mínimo.

Na função do 2º grau, estes pontos de máximo e mínimo são calculados no vértice da parábola. Se indica o vértice da parábola y = ax² + bx + c, suas coordenadas são:

Em funções polinomiais com grau maior que 2 e outras funções, os valores de máximo e mínimo podem ser calculados através do Cálculo Integral e Diferencial.